天空和大气的渲染 透射率 LUT

完整实现代码

Alpha3D v0.1.8

参照论文 Hillaire 2020 - A Scalable and Production Ready Sky and Atmosphere Rendering Technique 中的实时大气渲染方案实现。

Transmittance LUT 记录光线积分部分，后续计算 Sky-View LUT 等直接查询这张纹理。

由于大气和行星都被近似为同心球，透射率只与两个量有关：观察点到行星中心的距离 $r$，以及观察方向与当地天顶方向夹角的余弦值 $\mu=cos(\theta)$。因此可以用一张二维纹理表示：

$$T(r,\mu)=\exp\left[-\tau(r,\mu)\right]. \tag{1}$$

其中 $\tau$ 是光线从观察点到大气层顶端的光学深度，$T$ 为 RGB 三通道透射率。

构造 Transmittance LUT 输入输出

构造一个函数 $f$，输入是归一化纹理坐标 $(u,v)$，输出是观察点到行星中心的距离 $r$ 和观察方向的天顶角余弦 $\mu$。得到 $(r,\mu)$ 后，计算对应方向上的光学深度 $\tau$ 与透射率 $T(r,\mu)$。

参照 Bruneton 2008 - Precomputed Atmospheric Scattering 的参数化，只表示视线切线到垂直地面之间的天顶角部分。看向地面的天顶角不加入计算。

下面推导上述函数 $f$：

设行星半径为 $R_p$，大气层半径为 $R_a$。从行星表面的切线点到大气层顶端的距离为：

$$H=\sqrt{R_a^2-R_p^2}, \quad \rho=Hv. \tag{1}$$

易得：

$$r=\sqrt{\rho^2+R_p^2}. \tag{2}$$

$v=0$ 对应行星表面，$v=1$ 对应大气层顶端。

相较于直接插值高度 $(0, 1)$，这种非线性映射会为靠近地表的区域分配更多纹素。

在高度 $r$ 处，沿径向向上到达大气层顶端的最短距离为：

$$d_{\min}=R_a-r, \quad d_{\max}=\rho+H, \quad d=(1-u)d_{\min}+u d_{\max}. \tag{3}$$

使用余弦定理，易得：

$$R_a^2 =r^2+d^2-2rd\cos(\pi-\theta) =r^2+d^2+2rd\mu. \tag{4}$$

整理可得：

$$\mu=\frac{R_a^2-r^2-d^2}{2rd}. \tag{5}$$

代入前式：

$$H^2=R_a^2-R_p^2, \quad \rho^2=r^2-R_p^2, \quad H^2-\rho^2=R_a^2-r^2. \tag{6}$$

代入上式，最终得到：

$$\mu = \frac{H^2-\rho^2-d^2}{2rd}. \tag{7}$$

其中 $\mu=1$ 表示光线方向垂直地面竖直向上，$\mu=0$ 表示光线方向与远方地平线相切。

写入 Transmittance LUT

为 LUT 的每个纹素写入这条射线对应的透射率 $T(r,\mu)$。

计算积分上限 $s_{\mathrm{top}}$，即射线沿射线方向从观察点 $p$ 到大气层顶端的路径长度。

从点 $\boldsymbol{p}_0$ 出发，沿方向 $\boldsymbol{\omega}$ 前进距离 $s$，得到射线上的位置：

$$\boldsymbol{p}(s)=\boldsymbol{p}_0+s\boldsymbol{\omega}.$$

$\boldsymbol{p}_0$ 对应的单位向量为：

$$\boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{p}_0}{r}.$$

天顶角 $\theta$ 是当地天顶方向 $\boldsymbol{n}$ 与观察方向 $\boldsymbol{\omega}$ 的夹角，易得：

$$\mu =\cos\theta =\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\omega} =\frac{\boldsymbol{p}_0}{r}\cdot\boldsymbol{\omega}. \tag{9}$$

根据前面得到的观察点半径 $r$ 和观察方向 $\boldsymbol{\omega}$，求出射线到达大气层顶端时的参数 $s_{\mathrm{top}}$：

$$\left\|\boldsymbol{p}_0+s\boldsymbol{\omega}\right\|^2=R_a^2. \tag{10}$$ $$\left\|\boldsymbol{p}_0\right\|^2 +2s\,\boldsymbol{p}_0\cdot\boldsymbol{\omega} +s^2\left\|\boldsymbol{\omega}\right\|^2=R_a^2.$$

由 $\|\boldsymbol{p}_0\|=r$、$\|\boldsymbol{\omega}\|=1$，以及式（9）中的 $\boldsymbol{p}_0\cdot\boldsymbol{\omega}=r\mu$，代入式（10）得到：

$$r^2+2r\mu s+s^2=R_a^2.$$

移项后得到关于 $s$ 的二次方程：

$$s^2+2r\mu s+(r^2-R_a^2)=0.$$

使用求根公式：

$$\begin{aligned} s &=\frac{-2r\mu\pm\sqrt{(2r\mu)^2-4(r^2-R_a^2)}}{2} &=-r\mu\pm\sqrt{r^2(\mu^2-1)+R_a^2}. \end{aligned}$$

两个根对应直线与大气层球面的两个交点：较小的根位于射线反方向，较大的根位于观察方向的前方。

光学深度只沿观察方向积分，因此取较大的根，得到观察点到大气层顶端的距离：

$$s_{\mathrm{top}} =-r\mu+\sqrt{r^2(\mu^2-1)+R_a^2}. \tag{11}$$

接下来，对一条长度为 $s_{\mathrm{top}}$ 的射线，三种介质各自的柱密度为：

$$D_i(r,\mu) = \int_0^{s_{\mathrm{top}}} \rho_i\!\left(h(s)\right)\,\mathrm{d}s, \qquad i\in\{R,M,A\}. \tag{14}$$

其中，射线上距离起点 $s$ 处的高度半径（地心距离）为：

$$r_s=\sqrt{r^2+s^2+2r\mu s}, \qquad h(s)=r_s-R_p. \tag{15}$$

实现将射线平均分成 $N$ 段，每段长度为 $\Delta s=s_{\mathrm{top}}/N$，并使用中点法近似积分：

$$D_i(r,\mu) \approx \sum_{j=0}^{N-1} \rho_i\!\left(h\left((j+\tfrac12)\Delta s\right)\right)\Delta s. \tag{16}$$

中点法不会恰好采样行星表面或大气层顶端，能够减弱球形边界和密度突变对数值积分的影响。transmittanceSteps 越大，积分越准确，但生成 LUT 的成本也越高。

设 $\boldsymbol{\beta}_R$、$\boldsymbol{\beta}_M$ 和 $\boldsymbol{\beta}_A$ 分别为三种介质的 RGB 消光系数，总光学深度为：

$$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\beta}_R D_R +\boldsymbol{\beta}_M D_M +\boldsymbol{\beta}_A D_A. \tag{17}$$

根据 Beer–Lambert 定律，最终透射率为：

$$\boldsymbol{T}(r,\mu)=\exp(-\boldsymbol{\tau}). \tag{18}$$

三种介质都会移除沿原方向传播的光，因此它们的消光贡献应当相加。

处理行星遮挡

Transmittance LUT 只描述光线穿过大气后的衰减，它并不知道当前计算的光线是否会先撞到行星表面。太阳落到地平线以下时，太阳光方向已经穿过行星，不能继续为该位置的大气提供直接光照。

行星遮挡部分代码

v0.1.9

采样 Transmittance LUT

视觉上看，直接读取 LUT 和 64 步光线步进效果完全一样。

相比不用 LUT，使用 LUT 分别比 64、32 和 16 个 Light Steps 快约 28.4 倍、14.9 倍和 8.2 倍。

GPU 时间对比

With LUT, 64 Light Steps

0.231 ms

Without LUT, 64 Light Steps

6.565 ms

Without LUT, 32 Light Steps

3.450 ms

Without LUT, 16 Light Steps

1.900 ms

下一步可以继续阅读 03 Sky-View LUT 实现，了解如何在视线积分中复用这张透射率表，并缓存天空散射结果。